ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 878

\[\boxed{\mathbf{878.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\left( O_{1};r_{1} \right) \cap \left( O_{2};r_{2} \right) = A\ и\ B;\]

\[O_{1}A\bot AC;\]

\[O_{2}B\bot BD;\]

\[AC\ и\ BD - касательные.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\textbf{а)}\ AD \parallel BC;\]

\[\textbf{б)}\ AB^{2} = AD \bullet BC;\]

\[\textbf{в)}\ BD^{2}\ :AC^{2} = AD\ :BC.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[\textbf{а)}\ Рассмотрим\ углы\ между\ \]

\[хордами\ и\ касательными:\]

\[\angle CAB = \frac{1}{2} \cup AB\left( O_{1} \right) = \angle ADB;\]

\[\angle DBA = \frac{1}{2} \cup AB\left( O_{2} \right) = \angle BCA.\]

\[Следовательно:\]

\[\mathrm{\Delta}DAB\sim\mathrm{\Delta}ABC\ (по\ двум\ углам);\ \]

\[\angle DAB = \angle ABC\ и\ AB - секущая.\]

\[Значит:\ \ \]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ \mathrm{\Delta}DAB\sim\mathrm{\Delta}ABC \Longrightarrow \frac{\text{AB}}{\text{BC}} = \frac{\text{AD}}{\text{AB}}.\]

\[Отсюда:\]

\[AB^{2} = AD \bullet BC.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{в)}\ \mathrm{\Delta}DAB\sim\mathrm{\Delta}ABC:\]

\[\frac{\text{BD}}{\text{AC}} = \frac{\text{AD}}{\text{AB}}\text{\ \ }и\ \frac{\text{BD}}{\text{AC}} = \frac{\text{AB}}{\text{BC}} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \frac{BD^{2}}{AC^{2}} = \frac{\text{AD}}{\text{AB}} \bullet \frac{\text{AB}}{\text{BC}} = \frac{\text{AD}}{\text{BC}},\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]