ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 903

\[\boxed{\mathbf{903.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Докажите\ утверждения\ об\ \]

\[основных\ свойствах\ \]

\[умножения\ вектора\ на\ число\ \]

\[(п.\ 86).\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Докажем,\ что\ для\ любых\ \]

\[чисел\ \text{k\ }и\ \text{l\ }и\ любого\ вектора\ \overrightarrow{a}\ \]

\[справедливо\ равенство:\]

\[\left( \text{kl} \right)\overrightarrow{a} = l\left( l\overrightarrow{a} \right)\]

\[2)\ Если\ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow справедливость\ равенства\ \]

\[очевидна.\]

\[3)\ Если\ \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}:\]

\[\left| \left( \text{kl} \right)\overrightarrow{a} \right| = \left| \text{kl} \right|\left| \overrightarrow{a} \right| = |k||l|\left| \overrightarrow{a} \right| =\]

\[= |k|\left| l\overrightarrow{a} \right| = \left| k\left( l\overrightarrow{a} \right) \right|.\]

\[Если\ kl \geq 0:\]

\[\ \left( \text{kl} \right)\overrightarrow{a} \uparrow \uparrow \overrightarrow{a}\ и\ k\left( l\overrightarrow{a} \right) \uparrow \uparrow \overrightarrow{a}.\]

\[Если\ kl < 0:\]

\[\left( \text{kl} \right)\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{a};\ \]

\[k\left( l\overrightarrow{a} \right) \uparrow \downarrow \overrightarrow{a}.\]

\[Следовательно:\ \left( \text{kl} \right)\overrightarrow{a} = l\left( l\overrightarrow{a} \right).\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[4)\ Докажем,\ что\ для\ любых\ \]

\[чисел\ \text{k\ }и\ любых\ векторов\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ \]

\[справедливо\ равенство:\ \]

\[k\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}.\]

\[5)\ Если\ k = 0 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow справедливость\ равенства\ \]

\[очевидна.\]

\[6)\ При\ k \neq 0\ и\ если\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b} - не\ \]

\[коллинеарны.\]

\[Отложим\ от\ какой\ нибудь\ \]

\[точки\ O\ векторы\ \overrightarrow{OA_{1}} =\]

\[= \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{\text{OA}} = k\overrightarrow{a},\ а\ от\]

\[точек\ A_{1}\ и\ A_{2} - векторы\ \]

\[\overrightarrow{A_{1}B_{1}} = \overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{\text{AB}} = k\overrightarrow{b}.\]

\[Треугольника\ OA_{1}B_{1}\ и\ \]

\[OAB - подобны,\ с\ \]

\[коэффициентом\ подобия\ |k|.\]

\[Следовательно:\ \]

\[\overrightarrow{\text{OB}} = k\overrightarrow{OB_{1}} = k\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right);\]

\[\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{AB}} = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}.\]

\[Отсюда:\]

\[k\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[7)\ (k + l)\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}.\]

\[8)\ Пусть\ хотя\ бы\ одно\ из\ чисел\ \]

\[\text{k\ }или\ l - отлично\ от\ нуля:\]

\[|k| \geq |l|,\ k \neq 0\ и\ \left| \frac{l}{k} \right| \leq 1.\]

\[9)\ Рассмотрим\ вектор\ \]

\[\overrightarrow{a} + \frac{l}{k}\overrightarrow{a} \Longrightarrow \overrightarrow{a} + \frac{l}{k}\overrightarrow{a} \uparrow \uparrow \overrightarrow{a};\]

\[\left| \overrightarrow{a} + \frac{l}{k}\overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{a} \right| + \frac{l}{k}\left| \overrightarrow{a} \right| =\]

\[= \left( 1 + \frac{l}{k} \right)\left| \overrightarrow{a} \right|.\]

\[10)\ Следовательно:\ \ \]

\[\overrightarrow{a} + \frac{l}{k}\overrightarrow{a} = \left( 1 + \frac{l}{k} \right)\overrightarrow{a}\ | \bullet k\]

\[(k + l)\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]