15. $$\frac{3}{x-1}+\frac{4}{x}-\frac{3}{x+1}>0$$

15. Решим неравенство:

$$ \frac{3}{x-1}+\frac{4}{x}-\frac{3}{x+1}>0 $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{3x(x+1)+4(x-1)(x+1)-3x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} > 0 $$ $$ \frac{3x^{2}+3x+4(x^{2}-1)-3x^{2}+3x}{x(x-1)(x+1)} > 0 $$ $$ \frac{3x^{2}+3x+4x^{2}-4-3x^{2}+3x}{x(x-1)(x+1)} > 0 $$ $$ \frac{4x^{2}+6x-4}{x(x-1)(x+1)} > 0 $$

Разложим числитель на множители:

Найдем корни квадратного уравнения:

$$ 4x^{2}+6x-4 = 0 $$ $$ D = 6^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 36 + 64 = 100 $$ $$ x_{1} = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 4} = \frac{-6 + 10}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $$ $$ x_{2} = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 4} = \frac{-6 - 10}{8} = \frac{-16}{8} = -2 $$

Разложение числителя:

$$ 4x^{2}+6x-4 = 4(x - \frac{1}{2})(x + 2) = (2x - 1)(2x + 4) $$

Подставим разложение в неравенство:

$$ \frac{(2x - 1)(2x + 4)}{x(x-1)(x+1)} > 0 $$

Найдем нули числителя:

$$ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} $$ $$ 2x+4=0 \Rightarrow x=-2 $$

Найдем нули знаменателя:

$$ x=0 $$ $$ x-1=0 \Rightarrow x=1 $$ $$ x+1=0 \Rightarrow x=-1 $$

Отметим точки -2, -1, 0, 1/2, 1 на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

  +   -   +   -   +   -
<-(-2)-(-1)-(0)-(1/2)-(1)->

Решением являются интервалы, где выражение положительно:

$$ x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 0) \cup (\frac{1}{2}; 1) $$

Ответ: $$x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 0) \cup (\frac{1}{2}; 1)$$