7) $$\int \left(\cos 8x - \frac{1}{2}e^{-3x}\right) dx$$

Разделим интеграл на два интеграла:

$$\int \left(\cos 8x - \frac{1}{2}e^{-3x}\right) dx = \int \cos 8x dx - \frac{1}{2} \int e^{-3x} dx$$

Первый интеграл:

$$\int \cos 8x dx = \frac{1}{8} \sin 8x + C_1$$

Второй интеграл:

$$-\frac{1}{2} \int e^{-3x} dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{-3x}}{-3} + C_2 = \frac{1}{6}e^{-3x} + C_2$$

Объединяем результаты:

$$\int \left(\cos 8x - \frac{1}{2}e^{-3x}\right) dx = \frac{1}{8} \sin 8x + \frac{1}{6}e^{-3x} + C$$

Ответ: $$\frac{1}{8} \sin 8x + \frac{1}{6}e^{-3x} + C$$