6) $$\int \left(\frac{3}{\sin^2 x} - \frac{1}{7+x^2}\right) dx$$

Для решения данного интеграла разобьем его на два отдельных интеграла:

$$\int \left(\frac{3}{\sin^2 x} - \frac{1}{7+x^2}\right) dx = 3\int \frac{1}{\sin^2 x} dx - \int \frac{1}{7+x^2} dx$$

Первый интеграл:

$$3\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -3 \cot x + C_1$$

Второй интеграл:

$$\int \frac{1}{7+x^2} dx = \int \frac{1}{(\sqrt{7})^2 + x^2} dx = \frac{1}{\sqrt{7}} \arctan \frac{x}{\sqrt{7}} + C_2$$

Объединяем результаты:

$$\int \left(\frac{3}{\sin^2 x} - \frac{1}{7+x^2}\right) dx = -3 \cot x - \frac{1}{\sqrt{7}} \arctan \frac{x}{\sqrt{7}} + C$$

Ответ: $$-3 \cot x - \frac{1}{\sqrt{7}} \arctan \frac{x}{\sqrt{7}} + C$$