\int_{1}^{2} |3-x^{4}| dx=

1. Рассмотрим функцию \(f(x) = 3 - x^4\).
2. Найдем нули функции: \(3 - x^4 = 0 \Rightarrow x^4 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt[4]{3}\).
3. Так как \(\sqrt[4]{3} \approx 1.316\), этот корень попадает в интервал [1, 2].
4. Теперь нам нужно разбить интеграл на два: от 1 до \(\sqrt[4]{3}\) и от \(\sqrt[4]{3}\) до 2.
5. На интервале [1, \(\sqrt[4]{3}\)] функция положительна, поэтому \(|3 - x^4| = 3 - x^4\).
6. На интервале [\(\sqrt[4]{3}\), 2] функция отрицательна, поэтому \(|3 - x^4| = x^4 - 3\).
7. Вычислим интегралы:
• \[\int_{1}^{\sqrt[4]{3}} (3 - x^4) dx = \left[3x - \frac{1}{5}x^5\right]_{1}^{\sqrt[4]{3}} = \left(3\sqrt[4]{3} - \frac{1}{5}(\sqrt[4]{3})^5\right) - \left(3 - \frac{1}{5}\right) = 3\sqrt[4]{3} - \frac{3}{5}\sqrt[4]{3} - 3 + \frac{1}{5} = \frac{12}{5}\sqrt[4]{3} - \frac{14}{5}\]
• \[\int_{\sqrt[4]{3}}^{2} (x^4 - 3) dx = \left[\frac{1}{5}x^5 - 3x\right]_{\sqrt[4]{3}}^{2} = \left(\frac{1}{5}(2)^5 - 3(2)\right) - \left(\frac{1}{5}(\sqrt[4]{3})^5 - 3\sqrt[4]{3}\right) = \frac{32}{5} - 6 - \frac{3}{5}\sqrt[4]{3} + 3\sqrt[4]{3} = \frac{2}{5} + \frac{12}{5}\sqrt[4]{3}\]
8. Сложим оба интеграла: \[\frac{12}{5}\sqrt[4]{3} - \frac{14}{5} + \frac{2}{5} + \frac{12}{5}\sqrt[4]{3} = \frac{24}{5}\sqrt[4]{3} - \frac{12}{5}\]

Ответ: \(\frac{24}{5}\sqrt[4]{3} - \frac{12}{5}\)