\int_{3}^{1} |x^{2}-8x| dx=

1. Рассмотрим функцию \(f(x) = x^2 - 8x\).
2. Найдем нули функции: \(x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(x - 8) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 8\).
3. Определим знак функции на интервале [1, 3]. Так как оба корня (0 и 8) лежат вне этого интервала, функция сохраняет знак. Подставим, например, x = 2: \(f(2) = 2^2 - 8 \cdot 2 = 4 - 16 = -12 < 0\).
4. Таким образом, на интервале [1, 3] функция отрицательна, и \(|x^2 - 8x| = -(x^2 - 8x) = 8x - x^2\).
5. Вычислим интеграл: \[\int_{1}^{3} (8x - x^2) dx = \left[4x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{1}^{3} = \left(4(3)^2 - \frac{1}{3}(3)^3\right) - \left(4(1)^2 - \frac{1}{3}(1)^3\right) = (36 - 9) - (4 - \frac{1}{3}) = 27 - \frac{11}{3} = \frac{81 - 11}{3} = \frac{70}{3}\]

Ответ: \(\frac{70}{3}\)