5) { 3^x \cdot 5^y = 75 3^y \cdot 5^x = 45

5) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 3^x \cdot 5^y = 75 \\ 3^y \cdot 5^x = 45 \end{cases} $$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{3^x \cdot 5^y}{3^y \cdot 5^x} = \frac{75}{45}$$ $$\frac{3^x}{5^x} \cdot \frac{5^y}{3^y} = \frac{5}{3}$$ $$\frac{3^x}{3^y} \cdot \frac{5^y}{5^x} = \frac{5}{3}$$ $$(\frac{3}{5})^x \cdot (\frac{5}{3})^y = \frac{5}{3}$$ $$(\frac{3}{5})^x \cdot (\frac{3}{5})^{-y} = \frac{5}{3}$$ $$(\frac{3}{5})^{x-y} = (\frac{3}{5})^{-1}$$ $$x - y = -1$$

Тогда $$x = y - 1$$

Подставим в первое уравнение:

$$3^{y-1} \cdot 5^y = 75$$ $$\frac{3^y}{3} \cdot 5^y = 75$$ $$(3 \cdot 5)^y = 75 \cdot 3$$ $$15^y = 225$$ $$15^y = 15^2$$ $$y = 2$$

Тогда $$x = y - 1 = 2 - 1 = 1$$

Ответ: x=1, y=2