11. 8.2^{4x-6} -9.2^{2x-3} +1 ≥0 8.2^{4x-6} -6.2^{2x-3} +1

Для решения данного неравенства, введем замену переменной. Пусть $$t = 2^{2x-3}$$, тогда $$t^2 = (2^{2x-3})^2 = 2^{4x-6}$$.

Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{8t^2 - 9t + 1}{8t^2 - 6t + 1} \geq 0$$

Разложим квадратные трехчлены на множители:

$$8t^2 - 9t + 1 = 8(t - \frac{1}{8})(t - 1) = (8t - 1)(t - 1)$$ $$8t^2 - 6t + 1 = 8(t - \frac{1}{4})(t - \frac{1}{2}) = (4t - 1)(2t - 1)$$ Тогда неравенство можно переписать как:

$$\frac{(8t - 1)(t - 1)}{(4t - 1)(2t - 1)} \geq 0$$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$$8t - 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{8}$$ $$t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1$$ $$4t - 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{4}$$ $$2t - 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале:

+ - + - + ----(1/8)----(1/4)----(1/2)----(1)---->

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю:

$$t \in (-\infty; \frac{1}{8}] \cup (\frac{1}{4}; \frac{1}{2}) \cup [1; +\infty)$$ Вернемся к исходной переменной: $$t = 2^{2x-3}$$.

• $$2^{2x-3} \leq \frac{1}{8} = 2^{-3} \Rightarrow 2x - 3 \leq -3 \Rightarrow 2x \leq 0 \Rightarrow x \leq 0$$
• $$\frac{1}{4} < 2^{2x-3} < \frac{1}{2} \Rightarrow 2^{-2} < 2^{2x-3} < 2^{-1} \Rightarrow -2 < 2x - 3 < -1 \Rightarrow 1 < 2x < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} < x < 1$$
• $$2^{2x-3} \geq 1 = 2^0 \Rightarrow 2x - 3 \geq 0 \Rightarrow 2x \geq 3 \Rightarrow x \geq \frac{3}{2}$$

Таким образом, решение неравенства:

$$x \in (-\infty; 0] \cup (\frac{1}{2}; 1) \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$$

Ответ: $$x \in (-\infty; 0] \cup (0.5; 1) \cup [1.5; +\infty)$$