14. log1/2^2(64x)-3.log2(x/16)=84

Решим уравнение:

$$\log_{1/2}^2(64x) - 3\log_2(\frac{x}{16}) = 84$$

Преобразуем первое слагаемое:

$$\log_{1/2}^2(64x) = (\log_{2^{-1}}(64x))^2 = (-\log_2(64x))^2 = (\log_2(64x))^2 = (\log_2 64 + \log_2 x)^2 = (6 + \log_2 x)^2$$

Преобразуем второе слагаемое:

$$3\log_2(\frac{x}{16}) = 3(\log_2 x - \log_2 16) = 3(\log_2 x - 4) = 3\log_2 x - 12$$

Подставим в исходное уравнение:

$$(6 + \log_2 x)^2 - (3\log_2 x - 12) = 84$$

$$36 + 12\log_2 x + (\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 12 = 84$$

$$(log_2 x)^2 + 9\log_2 x + 48 - 84 = 0$$

$$(log_2 x)^2 + 9\log_2 x - 36 = 0$$

Пусть $$t = \log_2 x$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 + 9t - 36 = 0$$

$$D = 9^2 - 4(1)(-36) = 81 + 144 = 225 = 15^2$$

$$t_1 = \frac{-9 + 15}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$t_2 = \frac{-9 - 15}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$

Вернемся к исходной переменной:

• $$\log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8$$
• $$\log_2 x = -12 \Rightarrow x = 2^{-12} = \frac{1}{2^{12}} = \frac{1}{4096}$$

Оба корня положительны, поэтому входят в область определения.

Ответ: 8; 1/4096