7° Дано: АС ⊥ α, CK ⊥ AB, BK = 4, ∠A = 30°. Найти: АК.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACK. В нём ∠A = 30°, следовательно, катет CK равен половине гипотенузы AK (свойство прямоугольного треугольника с углом 30°). Обозначим AK = x, тогда CK = x/2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CKB. По теореме Пифагора:

$$CK^2 + KB^2 = BC^2$$

Подставим известные значения:

$$(\frac{x}{2})^2 + 4^2 = x^2$$

$$\frac{x^2}{4} + 16 = x^2$$

$$16 = x^2 - \frac{x^2}{4}$$

$$16 = \frac{3x^2}{4}$$

$$x^2 = \frac{16 \cdot 4}{3}$$

$$x^2 = \frac{64}{3}$$

$$x = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$

Следовательно, AK = $$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$