8° Дано: АС ⊥ β. СМ ⊥ AB, AM = 4, ∠A = 60°. Найти: МВ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСМ. В нём ∠A = 60°, следовательно, ∠ACM = 30°. Катет AM, прилежащий к углу 60°, равен половине гипотенузы АС (свойство прямоугольного треугольника с углом 30°).

АМ = 4, значит AC = 2 * AM = 2 * 4 = 8.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСВ. В нём АС - катет, АВ - гипотенуза. АВ = АМ + МВ = 4 + МВ.

По теореме Пифагора:

$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$

Так как СМ ⊥ AB, то треугольник CMB - прямоугольный, где MB - катет, CB - катет, а AB - гипотенуза.

Рассмотрим треугольник АМС. $$\frac{AM}{AC}=cos60^o$$ $$\frac{4}{AC}=\frac{1}{2}$$ AC=8

$$\frac{MC}{AC}=sin60^o$$ MC=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}

Рассмотрим треугольник CМB. $$\frac{MC}{MB}=tg\beta$$ ∠B=30° так как ∠A=60°

$$\frac{4\sqrt{3}}{MB}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ MB=12

Ответ: 12