10 Дано: АС⊥ B, BD ⊥ B. Найти: АВ.

Дано: АС⊥ β, BD ⊥ β. AC = 10, BD = 15, CD = 12.

Найти: АВ.

Т.к. AC ⊥ β и BD ⊥ β, то AC || BD. Следовательно, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Проведем CE || AD, тогда ACDE - прямоугольник, AE = CD = 10, BE = BD - AE = 15 - 10 = 5.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BEC. По теореме Пифагора:

$$BC^2 = BE^2 + CE^2$$

$$BC^2 = 5^2 + 12^2$$

$$BC^2 = 25 + 144 = 169$$

$$BC = \sqrt{169} = 13$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

$$AB^2 = 10^2 + 13^2$$

$$AB^2 = 100 + 169 = 269$$

$$AB = \sqrt{269}$$

Ответ: $$\sqrt{269}$$