5°. Для функции g(x) найдите перво- образную, график которой проходит че- рез точку А, если: g(x) = − 1 2 cos x, A(π/6; 1).

Найдем первообразную функции $$g(x) = -\frac{1}{2}cos(x)$$:

$$G(x) = \int -\frac{1}{2}cos(x) dx = -\frac{1}{2} \int cos(x) dx = -\frac{1}{2}sin(x) + C$$.

Теперь найдем значение константы C, используя условие $$A(\frac{\pi}{6}; 1)$$. То есть, когда $$x = \frac{\pi}{6}$$, то $$G(x) = 1$$:

$$G(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}sin(\frac{\pi}{6}) + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + C = -\frac{1}{4} + C = 1$$.

$$C = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$.

Тогда первообразная имеет вид:

$$G(x) = -\frac{1}{2}sin(x) + \frac{5}{4}$$.

Ответ: $$G(x) = -\frac{1}{2}sin(x) + \frac{5}{4}$$