2 · 25ˣ - 5 · 10ˣ + 2 · 4ˣ ≥ 0

Решим показательное неравенство 2 · 25ˣ - 5 · 10ˣ + 2 · 4ˣ ≥ 0.

1. Разделим обе части неравенства на 4ˣ (4ˣ > 0):
   • 2 · (25/4)ˣ - 5 · (10/4)ˣ + 2 ≥ 0.
   • 2 · (5/2)²ˣ - 5 · (5/2)ˣ + 2 ≥ 0.
2. Введём замену: y = (5/2)ˣ, тогда неравенство принимает вид:
   • 2y² - 5y + 2 ≥ 0.
3. Найдём корни квадратного уравнения 2y² - 5y + 2 = 0.
   • Используем дискриминант: D = (-5)² - 4 · 2 · 2 = 25 - 16 = 9.
   • y₁ = (5 - √9) / (2 · 2) = (5 - 3) / 4 = 2/4 = 1/2.
   • y₂ = (5 + √9) / (2 · 2) = (5 + 3) / 4 = 8/4 = 2.
4. Разложим квадратный трёхчлен на множители: 2(y - 1/2)(y - 2) ≥ 0.
5. Определим знаки неравенства на числовой прямой.

   + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
                                                         ------------------------------------------------------------------------
                                                                                         *
                                                                                       1/2
                                                         ------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                               *
                                                                                                                                                                                                                              2
                                                         ------------------------------------------------------------------------
   + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
     

6. Получаем решение для y: y ≤ 1/2 или y ≥ 2.
7. Вернёмся к исходной переменной: (5/2)ˣ ≤ 1/2 или (5/2)ˣ ≥ 2.
8. Решим неравенства:
   • (5/2)ˣ ≤ (5/2)⁻¹ → x ≤ -1.
   • (5/2)ˣ ≥ (5/2)¹ → x ≥ 1.

Ответ: x ∈ (-∞; -1] ∪ [1; +∞)