6 Β Δ ABC: A(0;2) B(3; 7) C(-1;5). Найдите cos ∠A, cos ∠B, cos ∠C.

Для нахождения косинусов углов треугольника ABC, заданного координатами вершин A(0;2), B(3;7), C(-1;5), воспользуемся теоремой косинусов. Сначала найдем длины сторон треугольника: \(a = BC = \sqrt{((3 - (-1))^2 + (7 - 5)^2)} = \sqrt{(4^2 + 2^2)} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) \(b = AC = \sqrt{((0 - (-1))^2 + (2 - 5)^2)} = \sqrt{(1^2 + (-3)^2)} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\) \(c = AB = \sqrt{((0 - 3)^2 + (2 - 7)^2)} = \sqrt{(-3^2 + (-5)^2)} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\) Теперь найдем косинусы углов: 1. Косинус угла A: \(\cos(\angle A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(\sqrt{10})^2 + (\sqrt{34})^2 - (2\sqrt{5})^2}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{34}} = \frac{10 + 34 - 20}{2\sqrt{340}} = \frac{24}{2\sqrt{340}} = \frac{12}{\sqrt{340}} = \frac{12}{2\sqrt{85}} = \frac{6}{\sqrt{85}}\) \(\cos(\angle A) = \frac{6}{\sqrt{85}} = \frac{6\sqrt{85}}{85} \approx 0.65\) 2. Косинус угла B: \(\cos(\angle B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{(2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{34})^2 - (\sqrt{10})^2}{2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{34}} = \frac{20 + 34 - 10}{4\sqrt{170}} = \frac{44}{4\sqrt{170}} = \frac{11}{\sqrt{170}}\) \(\cos(\angle B) = \frac{11}{\sqrt{170}} = \frac{11\sqrt{170}}{170} \approx 0.84\) 3. Косинус угла C: \(\cos(\angle C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{(2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{34})^2}{2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{20 + 10 - 34}{4\sqrt{50}} = \frac{-4}{4\sqrt{50}} = \frac{-1}{\sqrt{50}} = \frac{-1}{5\sqrt{2}}\) \(\cos(\angle C) = \frac{-1}{5\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{10} \approx -0.14\) Ответ: \(\cos(\angle A) = \frac{6\sqrt{85}}{85} \approx 0.65\), \(\cos(\angle B) = \frac{11\sqrt{170}}{170} \approx 0.84\), \(\cos(\angle C) = \frac{-\sqrt{2}}{10} \approx -0.14\)