• 7 Найдите все целые положительные значения р, при которых урав- нение x²- px - 6=0 имеет целые корни.

Для того чтобы уравнение $$x^2 - px - 6 = 0$$ имело целые корни, его дискриминант должен быть полным квадратом.

Дискриминант равен $$D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = p^2 + 24$$

Найдем целые положительные значения p, при которых $$p^2 + 24$$ является полным квадратом, то есть $$p^2 + 24 = k^2$$, где k - целое число.

Тогда $$k^2 - p^2 = 24$$

Разложим разность квадратов: $$(k - p)(k + p) = 24$$

Так как p - целое положительное число, то k также целое положительное число. Рассмотрим все возможные разложения числа 24 на два множителя:

1. $$24 = 1 \cdot 24$$: $$k - p = 1, k + p = 24$$ => $$2k = 25$$ => k = 12.5 (не целое)
2. $$24 = 2 \cdot 12$$: $$k - p = 2, k + p = 12$$ => $$2k = 14$$ => k = 7, p = 5. Проверим: $$p^2 + 24 = 5^2 + 24 = 25 + 24 = 49 = 7^2$$
3. $$24 = 3 \cdot 8$$: $$k - p = 3, k + p = 8$$ => $$2k = 11$$ => k = 5.5 (не целое)
4. $$24 = 4 \cdot 6$$: $$k - p = 4, k + p = 6$$ => $$2k = 10$$ => k = 5, p = 1. Проверим: $$p^2 + 24 = 1^2 + 24 = 1 + 24 = 25 = 5^2$$

Таким образом, целые положительные значения p равны 1 и 5.

Ответ: p = 1, 5