1 34.36 • При каких значениях параметра р квадратное уравнение x² + 6px + 9 = 0: а) имеет два различных корня; б) имеет один корень; в) не имеет корней?

Решение 34.36

Ответ: а) p > 1 или p < -1; б) p = 1 или p = -1; в) -1 < p < 1

1. Квадратное уравнение имеет вид: \[x^2 + 6px + 9 = 0\]
2. Вычислим дискриминант: \[D = (6p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36p^2 - 36\]
3. Рассмотрим каждый случай:
   • а) Два различных корня, когда \(D > 0\): \[36p^2 - 36 > 0\] \[p^2 - 1 > 0\] Найдем корни уравнения \(p^2 - 1 = 0\): \[p^2 = 1\] \[p_1 = 1\] \[p_2 = -1\] Значит, \(p > 1\) или \(p < -1\).
   • б) Один корень, когда \(D = 0\): \[36p^2 - 36 = 0\] \[p^2 - 1 = 0\] Корни этого уравнения мы уже нашли: \(p_1 = 1\) и \(p_2 = -1\).
   • в) Нет корней, когда \(D < 0\): \[36p^2 - 36 < 0\] \[p^2 - 1 < 0\] Значит, \(-1 < p < 1\).

Ответ: а) p > 1 или p < -1; б) p = 1 или p = -1; в) -1 < p < 1