34.35 При каких значениях параметра р квадратное уравнение 2x² - 2px + p + 12 = 0: а) имеет два различных корня; б) имеет один корень; в) не имеет корней?

Решение 34.35

Ответ: а) p > 6 или p < -4; б) p = 6 или p = -4; в) -4 < p < 6

1. Квадратное уравнение имеет вид: \[2x^2 - 2px + p + 12 = 0\]
2. Вычислим дискриминант: \[D = (-2p)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (p + 12) = 4p^2 - 8p - 96\]
3. Рассмотрим каждый случай:
   • а) Два различных корня, когда \(D > 0\): \[4p^2 - 8p - 96 > 0\] \[p^2 - 2p - 24 > 0\] Найдем корни уравнения \(p^2 - 2p - 24 = 0\): \[D_p = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\] \[p_1 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6\] \[p_2 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2} = \frac{2 - 10}{2} = -4\] Значит, \(p > 6\) или \(p < -4\).
   • б) Один корень, когда \(D = 0\): \[4p^2 - 8p - 96 = 0\] \[p^2 - 2p - 24 = 0\] Корни этого уравнения мы уже нашли: \(p_1 = 6\) и \(p_2 = -4\).
   • в) Нет корней, когда \(D < 0\): \[4p^2 - 8p - 96 < 0\] \[p^2 - 2p - 24 < 0\] Значит, \(-4 < p < 6\).

Ответ: а) p > 6 или p < -4; б) p = 6 или p = -4; в) -4 < p < 6