8. √ 4x + 2√3x² + 4 = x+2

Решим уравнение $$\sqrt{4x + 2\sqrt{3x^2 + 4}} = x + 2$$. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{4x + 2\sqrt{3x^2 + 4}})^2 = (x + 2)^2$$

$$4x + 2\sqrt{3x^2 + 4} = x^2 + 4x + 4$$

$$2\sqrt{3x^2 + 4} = x^2 + 4$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(2\sqrt{3x^2 + 4})^2 = (x^2 + 4)^2$$

$$4(3x^2 + 4) = x^4 + 8x^2 + 16$$

$$12x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16$$

$$x^4 - 4x^2 = 0$$

$$x^2(x^2 - 4) = 0$$

$$x^2(x - 2)(x + 2) = 0$$

$$x = 0$$ или $$x = 2$$ или $$x = -2$$

Проверим корни. Подставим x = 0 в исходное уравнение:

$$\sqrt{4 \cdot 0 + 2\sqrt{3 \cdot 0^2 + 4}} = 0 + 2$$

$$\sqrt{2\sqrt{4}} = 2$$

$$\sqrt{2 \cdot 2} = 2$$

$$\sqrt{4} = 2$$

$$2 = 2$$

Так как при подстановке получили верное равенство, то x = 0 является решением уравнения.

Проверим корень x = 2:

$$\sqrt{4 \cdot 2 + 2\sqrt{3 \cdot 2^2 + 4}} = 2 + 2$$

$$\sqrt{8 + 2\sqrt{16}} = 4$$

$$\sqrt{8 + 2 \cdot 4} = 4$$

$$\sqrt{16} = 4$$

$$4 = 4$$

Так как при подстановке получили верное равенство, то x = 2 является решением уравнения.

Проверим корень x = -2:

$$\sqrt{4 \cdot (-2) + 2\sqrt{3 \cdot (-2)^2 + 4}} = -2 + 2$$

$$\sqrt{-8 + 2\sqrt{16}} = 0$$

$$\sqrt{-8 + 2 \cdot 4} = 0$$

$$\sqrt{0} = 0$$

$$0 = 0$$

Так как при подстановке получили верное равенство, то x = -2 является решением уравнения.

Ответ: -2, 0, 2