6. ∠C = 90°, PC = CM; CA = 8 см Найти: МР.

Так как PC = CM, то M - середина гипотенузы AP прямоугольного треугольника ACP. Следовательно, CM = AM = MP (медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы). Тогда AP = 2 * CM. Также, CM = AM = MP, следовательно MP = CM = AM. По теореме Пифагора: $$AP^2 = AC^2 + CP^2$$ Так как CM = PC, то CP = MP. И AC = 8 см. Тогда: $$(2MP)^2 = 8^2 + MP^2$$ $$4MP^2 = 64 + MP^2$$ $$3MP^2 = 64$$ $$MP^2 = \frac{64}{3}$$ $$MP = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$ Ответ: $$MP = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$ см