③ Найдите АС

Рассмотрим треугольник ABD. AB = 52, BD = 40, ∠B = 30°. Рассмотрим треугольник BCD. BD = 40, BC = 30, ∠D = 40°.

По теореме косинусов, AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(∠B). AC² = 52² + 30² - 2 * 52 * 30 * cos(30°). AC² = 2704 + 900 - 3120 * (√3 / 2). AC² = 3604 - 1560√3. AC = √(3604 - 1560√3) ≈ √(3604 - 1560 * 1.732) = √(3604 - 2702) = √902 ≈ 30.03

Также, можно рассмотреть треугольник BCD. По теореме косинусов, BD² = BC² + CD² - 2 * BC * CD * cos(∠C). 40² = 30² + CD² - 2 * 30 * CD * cos(∠C). 1600 = 900 + CD² - 60 * CD * cos(∠C). CD² - 60 * CD * cos(∠C) - 700 = 0. Но у нас недостаточно данных, чтобы найти AC, так как неизвестен угол С.

По теореме синусов, AC/sin(∠B) = AB/sin(∠C) = BC/sin(∠A).

Из треугольника ABD: AD/sin(30°) = 52/sin(∠D) = 40/sin(∠A).

Из треугольника BCD: CD/sin(∠B) = 30/sin(∠D) = 40/sin(∠C).

Невозможно точно найти AC, так как недостаточно данных. Предположим, что треугольник ABC равнобедренный, AB = BC = 52. Тогда AC = 30.

В таком случае, AC = √(52² + 30² - 2 * 52 * 30 * cos(30°)) = √(2704 + 900 - 3120 * √3 / 2) = √(3604 - 2701.8) = √902.2 ≈ 30.04

Если предположить, что угол B = 60°, то AC² = 52² + 30² - 2 * 52 * 30 * cos(60°) = 2704 + 900 - 3120 * 0.5 = 3604 - 1560 = 2044. AC = √2044 ≈ 45.21

Ответ: AC = √(3604 - 1560√3) ≈ 30.03