④ Решить уравнение a) lox - ly 12 = log (x+1)- bgmát $$100 6) lop 3 (4-1)-2 bigg 2-4 = 20827

а) Решим уравнение $$log x - log 12 = log_{0.1} (x+1) - log_{100} 4$$

Преобразуем уравнение: $$log x - log 12 = log_{10^{-1}}(x+1) - log_{10^2} 4$$

$$log x - log 12 = -log_{10}(x+1) - \frac{1}{2}log_{10} 4$$

$$log x - log 12 = -log (x+1) - log 2$$

$$log \frac{x}{12} = log \frac{1}{x+1} - log 2$$

$$log \frac{x}{12} = log \frac{1}{2(x+1)}$$

Тогда $$\frac{x}{12} = \frac{1}{2(x+1)}$$

$$2x(x+1) = 12$$

$$2x^2 + 2x - 12 = 0$$

$$x^2 + x - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-6)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$

$$x_1 = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-1-5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Так как логарифм определен только для положительных значений, то $$x > 0$$ и $$x+1 > 0$$, следовательно, $$x = 2$$.

б) Решим уравнение $$log_3^2 (x-1) - 2log_{\frac{1}{3}} \frac{9}{x-1} = 2log_2 7$$

$$log_3^2 (x-1) - 2log_{3^{-1}} \frac{9}{x-1} = 2log_2 7$$

$$log_3^2 (x-1) + 2log_3 \frac{9}{x-1} = 2log_2 7$$

$$log_3^2 (x-1) + 2(log_3 9 - log_3 (x-1)) = 2log_2 7$$

$$log_3^2 (x-1) + 2(2 - log_3 (x-1)) = 2log_2 7$$

$$log_3^2 (x-1) - 2log_3 (x-1) + 4 - 2log_2 7 = 0$$

Пусть $$t = log_3 (x-1)$$, тогда $$t^2 - 2t + 4 - 2log_2 7 = 0$$

$$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(4 - 2log_2 7)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 + 8log_2 7}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8log_2 7 - 12}}{2} = 1 \pm \sqrt{2log_2 7 - 3}$$

$$log_3 (x-1) = 1 \pm \sqrt{2log_2 7 - 3}$$

$$x - 1 = 3^{1 \pm \sqrt{2log_2 7 - 3}}$$

$$x = 1 + 3^{1 \pm \sqrt{2log_2 7 - 3}}$$

Для существования решения необходимо, чтобы $$2log_2 7 - 3 \ge 0$$

$$2log_2 7 \ge 3$$

$$log_2 7 \ge \frac{3}{2}$$

$$7 \ge 2^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2.82$$, что выполняется.

Окончательно, $$x = 1 + 3^{1 \pm \sqrt{2log_2 7 - 3}}$$.

Ответ: a) $$x=2$$, б) $$x = 1 + 3^{1 \pm \sqrt{2log_2 7 - 3}}$$