► задача 7 4. ☆☆ Точка находится на равных расстояниях от всех вершин квадрата. Докажите, что она лежит на пересече- нии его диагоналей.

4. Точка находится на равных расстояниях от всех вершин квадрата. Докажите, что она лежит на пересечении его диагоналей.

Доказательство:

Пусть ABCD - данный квадрат, а О - точка, равноудаленная от всех его вершин, то есть AO = BO = CO = DO.

Рассмотрим треугольники ABO и CDO. У них AO = CO, BO = DO (по условию), AB = CD (как стороны квадрата). Следовательно, ΔABO = ΔCDO по трем сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠BAO = ∠DCO. Аналогично, рассматривая треугольники BCO и DAO, можно доказать, что ∠CBO = ∠DAO.

Так как AO = BO, треугольник ABO равнобедренный, следовательно, ∠BAO = ∠ABO.

Пусть M - точка пересечения диагоналей квадрата. Тогда AM = BM = CM = DM, и точка M равноудалена от всех вершин квадрата.

Докажем, что точка O совпадает с точкой M. Предположим, что O не лежит на диагоналях. Тогда из равенства расстояний до вершин следует, что O должна лежать на серединных перпендикулярах к сторонам квадрата, но это невозможно, так как серединные перпендикуляры пересекаются в точке M.

Следовательно, точка O, равноудаленная от всех вершин квадрата, лежит на пересечении его диагоналей.

Ответ: Доказано, что точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, лежит на пересечении его диагоналей.