5. ☆☆ У шестиугольника равны все стороны. Точка находится на равных расстояниях от всех его вершин. Дока- жите, что она лежит на трёх диагона- лях этого шестиугольника.

5. У шестиугольника равны все стороны. Точка находится на равных расстояниях от всех его вершин. Докажите, что она лежит на трёх диагоналях этого шестиугольника.

Доказательство:

Пусть ABCDEF - данный шестиугольник, у которого все стороны равны, и пусть точка O находится на равном расстоянии от всех его вершин, то есть AO = BO = CO = DO = EO = FO.

Рассмотрим диагонали AD, BE и CF. Эти диагонали соединяют противоположные вершины шестиугольника.

Поскольку точка O равноудалена от всех вершин шестиугольника, она является центром описанной окружности вокруг шестиугольника. Диагонали AD, BE и CF являются диаметрами этой окружности, так как они соединяют противоположные вершины.

Точка O является точкой пересечения этих диагоналей, так как она находится в центре окружности.

Таким образом, точка O лежит на трех диагоналях AD, BE и CF шестиугольника.

Ответ: Доказано, что точка, равноудаленная от всех вершин правильного шестиугольника, лежит на трех диагоналях этого шестиугольника.