18.11 ★★☆ Длины двух сторон треугольника равны 2 и 5 (рис. 18.37). Докажите, что медиана, проведён- ная к третьей его стороне, больше 1,5.

Ответ: Доказано

• Пусть стороны треугольника равны a = 2 и b = 5, а медиана, проведённая к стороне c, равна m.
• Медиана делит сторону c пополам.
• По теореме о медиане: 4m^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2, то есть 4m^2 = 2 \times 2^2 + 2 \times 5^2 - c^2.
• 4m^2 = 8 + 50 - c^2 = 58 - c^2.
• По неравенству треугольника: b - a < c < a + b, то есть 5 - 2 < c < 5 + 2, или 3 < c < 7.
• 9 < c^2 < 49.
• 4m^2 = 58 - c^2 > 58 - 49 = 9.
• m^2 > \frac{9}{4} = 2.25.
• m > \sqrt{2.25} = 1.5.

Ответ: Доказано