№4. \(\triangle PKT\) — равнобедренный, в него вписана окружность, PK = PT 1) PH = 4,5 см, TH = 2,5 см. Найдите \(P_{\triangle PKT}\). 2) \(P_{\triangle PKT} = 20\) см, PH = 6 см. Найдите длину основания KT.

Решение:

1) Так как \(\triangle PKT\) равнобедренный и окружность вписана, то касательные, проведенные из вершины P к окружности, равны, т.е. PH = PT.

• \(PK = PH + HK\)
• \(PT = PH + HT\)

Так как \(PH = PT\), то \(PK = PT\). Следовательно, \(PK = PT = PH + HT = 4,5 + 2,5 = 7\) см.

По свойству касательных, проведенных из одной точки, \(HK = HT = 2,5\) см. Тогда \(KT = HK + HT = 2,5 + 2,5 = 5\) см.

Периметр \(\triangle PKT\) равен:

\(P_{\triangle PKT} = PK + PT + KT = 7 + 7 + 5 = 19\) см.

2) Найдем боковую сторону PK:

\(PK = PT = \frac{P_{\triangle PKT} - KT}{2}\). Пусть KT = x см.

Тогда \(PK = \frac{20 - x}{2}\). По свойству касательных PH = \(PK - HT\), но \(HT = \frac{x}{2}\). Следовательно, \(6 = \frac{20 - x}{2} - \frac{x}{2}\).

\(6 = \frac{20 - 2x}{2}\)

\(12 = 20 - 2x\)

\(2x = 8\)

\(x = 4\)

Тогда KT = 4 см.

Ответ: 1) 19 см. 2) 4 см.