№2. В треугольник \(\triangle ABC\) вписана окружность. 1) \(\angle ABC = 70^\circ\), \(\angle ACB = 56^\circ\). Найдите \(\angle COB\), \(\angle AOB\), \(\angle AOC\). 2) AM = 4 см, BK = 5 см, CH = 7 см. Найдите \(P_{\triangle ABC}\).

Решение:

1) Найдем \(\angle BAC\):

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), значит, \(\angle BAC = 180^\circ - 70^\circ - 56^\circ = 54^\circ\).

• \(OC\) и \(OB\) — биссектрисы углов \(\angle ACB\) и \(\angle ABC\) соответственно.
• \(\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 56^\circ = 28^\circ\).
• \(\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ\).

Найдем \(\angle COB\):

\(\angle COB = 180^\circ - \angle OCB - \angle OBC = 180^\circ - 28^\circ - 35^\circ = 117^\circ\).

\(OA\) и \(OC\) — биссектрисы углов \(\angle BAC\) и \(\angle ACB\) соответственно.

• \(\angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 54^\circ = 27^\circ\).
• \(\angle OCA = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 56^\circ = 28^\circ\).

Найдем \(\angle AOC\):

\(\angle AOC = 180^\circ - \angle OAC - \angle OCA = 180^\circ - 27^\circ - 28^\circ = 125^\circ\).

\(OA\) и \(OB\) — биссектрисы углов \(\angle BAC\) и \(\angle ABC\) соответственно.

• \(\angle OBA = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ\).
• \(\angle OAB = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 54^\circ = 27^\circ\).

Найдем \(\angle AOB\):

\(\angle AOB = 180^\circ - \angle OBA - \angle OAB = 180^\circ - 35^\circ - 27^\circ = 118^\circ\).

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки:

• \(AM = AH = 4\) см,
• \(BK = BC = 5\) см,
• \(CH = CK = 7\) см.

Тогда:

• \(AB = AM + MB = 4 + 5 = 9\) см,
• \(BC = BK + KC = 5 + 7 = 12\) см,
• \(AC = AH + HC = 4 + 7 = 11\) см.

Периметр \(\triangle ABC\) равен:

\(P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 9 + 12 + 11 = 32\) см.

Ответ: 1) \(\angle COB = 117^\circ\), \(\angle AOB = 118^\circ\), \(\angle AOC = 125^\circ\). 2) 32 см.