№ 15. Автобусный маршрут протяжённостью 76 км первый автобус проходит быстрее второго на 50 минут. При этом скорость второго автобуса на 5 км/ч меньше, чем у первого. Определите скорость второго автобуса. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Пусть скорость первого автобуса \(v_1\) км/ч, а скорость второго автобуса \(v_2\) км/ч. Тогда \(v_2 = v_1 - 5\).
2. Время, за которое первый автобус проходит маршрут, равно \(t_1 = \frac{76}{v_1}\) часов, а время, за которое второй автобус проходит маршрут, равно \(t_2 = \frac{76}{v_2}\) часов.
3. Из условия задачи известно, что первый автобус проходит маршрут на 50 минут быстрее второго, что составляет \(\frac{50}{60} = \frac{5}{6}\) часа. Поэтому можно записать уравнение:
   \[t_2 - t_1 = \frac{5}{6}\]
   \[\frac{76}{v_2} - \frac{76}{v_1} = \frac{5}{6}\]
4. Подставим \(v_2 = v_1 - 5\) в уравнение:
   \[\frac{76}{v_1 - 5} - \frac{76}{v_1} = \frac{5}{6}\]
5. Умножим обе части уравнения на \(6v_1(v_1 - 5)\), чтобы избавиться от знаменателя:
   \[6 \cdot 76 \cdot v_1 - 6 \cdot 76 \cdot (v_1 - 5) = 5v_1(v_1 - 5)\]
   \[456v_1 - 456v_1 + 2280 = 5v_1^2 - 25v_1\]
   \[5v_1^2 - 25v_1 - 2280 = 0\]
6. Разделим обе части уравнения на 5:
   \[v_1^2 - 5v_1 - 456 = 0\]
7. Решим квадратное уравнение \(v_1^2 - 5v_1 - 456 = 0\) через дискриминант:
   \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-456) = 25 + 1824 = 1849\]
   \[v_1 = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1849}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 43}{2}\]
8. Найдем два корня:
   \[v_{1,1} = \frac{5 + 43}{2} = \frac{48}{2} = 24\]
   \[v_{1,2} = \frac{5 - 43}{2} = \frac{-38}{2} = -19\]
   Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \(v_1 = 24\) км/ч.
9. Тогда скорость второго автобуса равна \(v_2 = v_1 - 5 = 24 - 5 = 19\) км/ч.

Ответ: 19 км/ч