№4. (1 балл) Один из корней уравнения х² + 8x + q = 0 равен 5. Найдите другой корень и свободный член q.

Пусть x₁ = 5 - один из корней уравнения $$x^2 + 8x + q = 0$$. Подставим x₁ в уравнение:

• $$5^2 + 8 \cdot 5 + q = 0$$
• $$25 + 40 + q = 0$$
• $$65 + q = 0$$
• $$q = -65$$
• Тогда уравнение имеет вид: $$x^2 + 8x - 65 = 0$$
• Воспользуемся теоремой Виета: $$x_1 + x_2 = -8$$ $$x_1 \cdot x_2 = -65$$
• Подставим x₁ = 5: $$5 + x_2 = -8$$ $$5 \cdot x_2 = -65$$
• Найдём второй корень: $$x_2 = -8 - 5 = -13$$ $$x_2 = -\frac{65}{5} = -13$$

Ответ: другой корень равен -13, свободный член q = -65