№3. (2 балла) Диагональ прямоугольника на 6 см больше одной из его сторон и на 3 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть одна сторона прямоугольника равна x см, тогда диагональ равна x + 6 см, а другая сторона равна x + 3 см. По теореме Пифагора:

• $$x^2 + (x + 3)^2 = (x + 6)^2$$
• $$x^2 + x^2 + 6x + 9 = x^2 + 12x + 36$$
• $$2x^2 + 6x + 9 - x^2 - 12x - 36 = 0$$
• $$x^2 - 6x - 27 = 0$$
• Решим квадратное уравнение, используя теорему Виета: $$x_1 + x_2 = 6$$ $$x_1 \cdot x_2 = -27$$
• Подберём корни, удовлетворяющие этим условиям: $$x_1 = 9$$ $$x_2 = -3$$
• Так как длина стороны не может быть отрицательной, корень x₂ = -3 не подходит. Следовательно, одна сторона равна 9 см, а другая сторона равна 9 + 3 = 12 см.

Ответ: 9 см и 12 см