№1. (8 баллов) Решить уравнения: a) 9x² – 7x – 2 = 0; б) 6x² – 3x = 0; в) 16х² = 49; г) 7x² + 6x + 2 = 0; д) x² – 5x – 24 = 0; e) x² + 15x = -37; ж) 5x² – 25 = 0; з) y² = 5y;

№1. Решить уравнения:

a) 9x² – 7x – 2 = 0

Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:

• Вычислим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 9$$, $$b = -7$$, $$c = -2$$: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 49 + 72 = 121$$
• Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня. Найдём их по формулам: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ и $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$
• Вычислим корни: $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 + 11}{18} = \frac{18}{18} = 1$$ $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 - 11}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$$

Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -\frac{2}{9}$$

б) 6x² – 3x = 0

Вынесем общий множитель за скобки:

• $$3x(2x - 1) = 0$$
• Приравняем каждый множитель к нулю: $$3x = 0$$ или $$2x - 1 = 0$$
• Решим каждое уравнение: $$x_1 = 0$$ $$2x = 1$$ $$x_2 = \frac{1}{2}$$

Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = \frac{1}{2}$$

в) 16x² = 49

Преобразуем уравнение:

• $$16x^2 - 49 = 0$$
• $$(4x)^2 - 7^2 = 0$$
• Воспользуемся формулой разности квадратов: $$(4x - 7)(4x + 7) = 0$$
• Приравняем каждый множитель к нулю: $$4x - 7 = 0$$ или $$4x + 7 = 0$$
• Решим каждое уравнение: $$4x = 7$$ $$x_1 = \frac{7}{4}$$ $$4x = -7$$ $$x_2 = -\frac{7}{4}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{7}{4}$$, $$x_2 = -\frac{7}{4}$$

г) 7x² + 6x + 2 = 0

Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:

• Вычислим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 7$$, $$b = 6$$, $$c = 2$$: $$D = 6^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 36 - 56 = -20$$
• Так как $$D < 0$$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет

д) x² – 5x – 24 = 0

Решим квадратное уравнение, используя теорему Виета:

• По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -b = 5$$ $$x_1 \cdot x_2 = c = -24$$
• Подберём корни, удовлетворяющие этим условиям: $$x_1 = 8$$, $$x_2 = -3$$

Ответ: $$x_1 = 8$$, $$x_2 = -3$$

e) x² + 15x = -37

Приведем уравнение к стандартному виду:

• $$x^2 + 15x + 37 = 0$$
• Вычислим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 1$$, $$b = 15$$, $$c = 37$$: $$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 37 = 225 - 148 = 77$$
• Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня. Найдём их по формулам: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ и $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$
• Вычислим корни: $$x_1 = \frac{-15 + \sqrt{77}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 + \sqrt{77}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-15 - \sqrt{77}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 - \sqrt{77}}{2}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{-15 + \sqrt{77}}{2}$$, $$x_2 = \frac{-15 - \sqrt{77}}{2}$$

ж) 5x² – 25 = 0

Решим уравнение:

• $$5x^2 = 25$$
• $$x^2 = 5$$
• $$x_1 = \sqrt{5}$$ $$x_2 = -\sqrt{5}$$

Ответ: $$x_1 = \sqrt{5}$$, $$x_2 = -\sqrt{5}$$

з) y² = 5y

Преобразуем уравнение:

• $$y^2 - 5y = 0$$
• Вынесем общий множитель за скобки: $$y(y - 5) = 0$$
• Приравняем каждый множитель к нулю: $$y = 0$$ или $$y - 5 = 0$$
• Решим каждое уравнение: $$y_1 = 0$$ $$y_2 = 5$$

Ответ: $$y_1 = 0$$, $$y_2 = 5$$