№3. (2 балла) Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 1 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть диагональ прямоугольника равна d, одна сторона равна a, другая равна b.

Тогда, по условию, имеем:

$$d = a + 8$$

$$d = b + 1$$

Отсюда:

$$a = d - 8$$

$$b = d - 1$$

По теореме Пифагора:

$$a^2 + b^2 = d^2$$

Подставим выражения для a и b:

$$(d - 8)^2 + (d - 1)^2 = d^2$$

$$d^2 - 16d + 64 + d^2 - 2d + 1 = d^2$$

$$d^2 - 18d + 65 = 0$$

Вычислим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$

где $$a = 1$$, $$b = -18$$, $$c = 65$$

$$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 65 = 324 - 260 = 64$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Корни найдем по формуле:

$$d_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

$$d_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 8}{2} = \frac{26}{2} = 13$$

$$d_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Если d = 5, то a = d - 8 = 5 - 8 = -3 (не подходит, т.к. сторона не может быть отрицательной).

Если d = 13, то a = d - 8 = 13 - 8 = 5

b = d - 1 = 13 - 1 = 12

Ответ: 5 см и 12 см