№ 3. Бросают одну игральную кость. Событие А – «выпадет чётное число очков». Являются ли независимыми события А и В, если событие В состоит в том, что: a) выпадет число очков, кратное 3; б) выпадет число очков, кратное 5?

Событие A: выпадет чётное число очков. Возможные исходы: {2, 4, 6}. $$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$. а) Событие B: выпадет число очков, кратное 3. Возможные исходы: {3, 6}. $$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$. $$A \cap B$$: выпадет чётное число, кратное 3. Возможный исход: {6}. $$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$$. Проверим, выполняется ли условие независимости: $$P(A \cap B) = P(A) * P(B)$$. $$\frac{1}{6} = \frac{1}{2} * \frac{1}{3}$$ => $$\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$$. Условие выполняется. Следовательно, события A и B независимы. б) Событие B: выпадет число очков, кратное 5. Возможные исходы: {5}. $$P(B) = \frac{1}{6}$$. $$A \cap B$$: выпадет чётное число, кратное 5. Возможных исходов нет. $$P(A \cap B) = 0$$. Проверим, выполняется ли условие независимости: $$P(A \cap B) = P(A) * P(B)$$. $$0 = \frac{1}{2} * \frac{1}{6}$$ => $$0 = \frac{1}{12}$$. Условие не выполняется. Следовательно, события A и B зависимы. Ответ: a) События независимы; б) События зависимы.