№ 4. Моторная лодка прошла против течения реки 60 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 ч меньше. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 8 км/ч. ОТВЕТ: 2 км/ч.

Пусть $$v$$ - скорость течения реки (км/ч). Тогда скорость лодки против течения равна $$(8-v)$$ км/ч, а по течению $$(8+v)$$ км/ч. Время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{60}{8-v}$$ часов, а время на путь по течению равно $$\frac{60}{8+v}$$ часов. По условию, время на обратный путь на 4 часа меньше, поэтому $$\frac{60}{8-v} - \frac{60}{8+v} = 4$$. $$\frac{15}{8-v} - \frac{15}{8+v} = 1$$ $$15(8+v) - 15(8-v) = (8-v)(8+v)$$ $$120 + 15v - 120 + 15v = 64 - v^2$$ $$30v = 64 - v^2$$ $$v^2 + 30v - 64 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 900 + 256 = 1156$$. $$v_1 = \frac{-30 + \sqrt{1156}}{2} = \frac{-30 + 34}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ км/ч. $$v_2 = \frac{-30 - \sqrt{1156}}{2} = \frac{-30 - 34}{2} = \frac{-64}{2} = -32$$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной). Ответ: 2 км/ч.