№ 5.* На данном рисунке AD||BC, AD = BC, AF = EC. Докажите, что АВ ||CD.

Рассмотрим треугольники AFD и CEB. AD = BC (по условию), AF = EC (по условию). ∠DAF = ∠BCE (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC). Следовательно, треугольники AFD и CEB равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что FD = BE.

Так как AD = BC и FD = BE, то AF + FD = CE + BE. Отсюда следует, что AE = CF.

Рассмотрим треугольники ABE и CDF. AD = BC (по условию), AE = CF (доказано выше). ∠AEB = ∠DFC (как соответственные углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC). Следовательно, треугольники ABE и CDF равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что ∠BAE = ∠DCF. Эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. Значит, прямые AB и CD параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что AB || CD.