№ 3. Отрезки MN и КР пересекаются в точке О так, что MO = NO и KN || МР. Докажите, что КM || NP.

Рассмотрим треугольники MOK и NOP. MO = NO (по условию), ∠MOK = ∠NOP (как вертикальные). ∠MKO = ∠RMO (как накрест лежащие при параллельных прямых KN и MP и секущей MK). Следовательно, треугольники MOK и NOP равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что ∠KMO = ∠ONP. Эти углы являются накрест лежащими при прямых KM и NP и секущей MN. Значит, прямые KM и NP параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что KM || NP.