№ 4. Найдите решение неравенства 4/(x-2) > 7/(x-3). ОТВЕТ, данный в учебном пособии: (-∞; -2/3] 0 (2; 3). Правильный ОТВЕТ: (-∞; 2/3] U (2; 3).

Решение неравенства №4

Решим неравенство \[\frac{4}{x-2} > \frac{7}{x-3}.\]

Перенесем все в одну сторону: \[\frac{4}{x-2} - \frac{7}{x-3} > 0.\]

Приведем к общему знаменателю: \[\frac{4(x-3) - 7(x-2)}{(x-2)(x-3)} > 0.\]

Упростим числитель: \[\frac{4x - 12 - 7x + 14}{(x-2)(x-3)} > 0,\] \[\frac{-3x + 2}{(x-2)(x-3)} > 0.\]

Умножим на -1, чтобы изменить знак в числителе: \[\frac{3x - 2}{(x-2)(x-3)} < 0.\]

Найдем нули числителя и знаменателя:

• 3x - 2 = 0 => x = 2/3
• x - 2 = 0 => x = 2
• x - 3 = 0 => x = 3

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале:

-       +         -        +
---(2/3)---(2)---(3)--->

Выражение меньше нуля на интервалах (-∞; 2/3) и (2; 3).

Ответ: (-∞; 2/3) U (2; 3)