№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF = NK (рис. 65). Докажите, что \(\angle MNK = \angle MNF\).

Дано: Окружность с центром O, диаметр MN, хорды NF = NK. Доказать: \(\angle MNK = \angle MNF\). Доказательство: 1. Рассмотрим \(\triangle NKF\). Так как NF = NK, то \(\triangle NKF\) – равнобедренный, и \(\angle NKF = \angle NFK\). 2. \(\angle NKF\) и \(\angle NFK\) – вписанные углы, опирающиеся на хорды NK и NF соответственно. Поскольку \(\angle NKF = \angle NFK\), то дуги, на которые они опираются, также равны: дуга NK = дуге NF. 3. Так как MN – диаметр, то дуга MN = 180 градусов. 4. Рассмотрим \(\angle MNK\) и \(\angle MNF\). Они опираются на дуги MK и MF соответственно. 5. Дуга MK = дуга MN - дуга NK. Дуга MF = дуга MN - дуга NF. 6. Так как дуга NK = дуге NF, то дуга MK = дуге MF. 7. Поскольку дуги MK и MF равны, то вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны: \(\angle MNK = \angle MNF\). Что и требовалось доказать.