№ 4*. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

Решение: 1. Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где AB - меньшее основание, CD - большее основание, AD - большее боковое ребро, BC - меньшее боковое ребро, угол A = 60°, BH - высота, проведенная из вершины B к основанию AD. Так как высота BH делит основание AD пополам, то AH = HD. 2. В прямоугольном треугольнике ABH угол BAH = 60°. Тогда угол ABH = 90° - 60° = 30°. Сторона AD = 8 см, которая является большей боковой стороной трапеции. 3. Так как угол ABH = 30°, то AH = 1/2 * AD = 1/2 * 8 = 4 см (катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы). 4. Найдем высоту BH по теореме Пифагора из треугольника ABH: $$BH^2 = AD^2 - AH^2$$ $$BH^2 = 8^2 - 4^2$$ $$BH^2 = 64 - 16$$ $$BH^2 = 48$$ $$BH = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$ см 5. Поскольку высота BH делит основание AD пополам, то HD = AH = 4 см. Тогда большее основание CD = AH + HD = 4 + 4 = 8 см. 6. Найдем меньшее основание AB: т.к. трапеция прямоугольная, то BC=AH=4 см 7. Найдем площадь трапеции: $$S = \frac{AB + CD}{2} * BH$$ $$S = \frac{4+8}{2} * 4\sqrt{3}$$ $$S = \frac{12}{2} * 4\sqrt{3}$$ $$S = 6 * 4\sqrt{3}$$ $$S = 24\sqrt{3}$$ кв. см Ответ: Площадь трапеции равна (24\sqrt{3}\) кв. см.