№2. а) В Тридесятом Царстве царь повелел, чтобы из каждого города выходило ровно 3 дороги, а всего дорог было бы ровно 40. Можно ли выполнить царское повеление? б) Царь изменил своё решение и потребовал, чтобы дорог было ровно 75. Можно ли теперь выполнить царскую волю?

а) Пусть $$n$$ - количество городов. Тогда общее количество дорог равно $$\frac{3n}{2}$$, так как каждая дорога соединяет два города, и мы считаем каждую дорогу дважды (один раз для каждого города, который она соединяет). Таким образом, общее количество дорог должно быть целым числом. В первом случае у нас 40 дорог. Значит, $$\frac{3n}{2} = 40$$. Отсюда $$3n = 80$$, и $$n = \frac{80}{3}$$. Так как $$n$$ должно быть целым числом, то выполнить царское повеление невозможно. б) Во втором случае у нас 75 дорог. Значит, $$\frac{3n}{2} = 75$$. Отсюда $$3n = 150$$, и $$n = \frac{150}{3} = 50$$. Так как $$n$$ - целое число, то выполнить царское повеление возможно. **Ответ: а) Невозможно. б) Возможно, нужно 50 городов.**