№3. На конференцию собрались учёные. Могло ли оказаться так, что каждый из них знаком с четырьмя другими учёными, кроме троих, которые знакомы ровно с пятью другими?

Пусть $$x$$ - количество ученых, знакомых с четырьмя другими учеными, и 3 ученых, знакомых с пятью другими. Тогда общее количество знакомств можно вычислить двумя способами: 1. Сумма степеней всех вершин равна $$4x + 5 \cdot 3 = 4x + 15$$. 2. Сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству ребер (знакомств), то есть $$2E$$, где $$E$$ - количество ребер. Таким образом, $$4x + 15 = 2E$$. Так как $$2E$$ всегда четное число, $$4x + 15$$ должно быть четным числом. Однако $$4x$$ всегда четное, и $$15$$ - нечетное. Следовательно, $$4x + 15$$ всегда нечетное. Таким образом, равенство $$4x + 15 = 2E$$ невозможно. **Ответ: Такое не могло оказаться.**