1. (№15) Биссектриса равностороннего треугольника равна $$17\sqrt{3}$$. Найдите сторону этого треугольника.

В равностороннем треугольнике все углы равны $$60^{\circ}$$. Биссектриса делит угол пополам, поэтому угол между стороной и биссектрисой равен $$30^{\circ}$$. Биссектриса в равностороннем треугольнике является также высотой и медианой. Обозначим сторону треугольника как $$a$$, тогда половина стороны равна $$\frac{a}{2}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный биссектрисой, половиной стороны и стороной треугольника. Используем тангенс угла в $$30^{\circ}$$: $$\tan(30^{\circ}) = \frac{\frac{a}{2}}{17\sqrt{3}}$$ Так как $$\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$, то: $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{2 \cdot 17\sqrt{3}}$$ $$2 \cdot 17\sqrt{3} = a\sqrt{3}$$ $$a = \frac{2 \cdot 17\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$ $$a = 2 \cdot 17 = 34$$ Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 34.