№4. Через вершину В прямоугольника АВСD проведена прямая МВ, перпендикулярная сторонам прямоугольника ВС и АВ. а) Докажите перпендикулярность прямой CD и плоскости МВС. 6) Найдите площадь прямоугольника, если MD = 13 см, МС = 12 см, AD: CD = 8: 5.

а) Т.к. MB перпендикулярна BC и AB, то MB перпендикулярна плоскости ABC.

Прямая CD лежит в плоскости ABC.

Т.к. ABCD - прямоугольник, то CD перпендикулярна BC.

Т.к. MB перпендикулярна плоскости ABC, то MB перпендикулярна CD.

Т.к. CD перпендикулярна BC и MB, то CD перпендикулярна плоскости MBC.

б) Пусть AD = 8x, CD = 5x. Т.к. ABCD - прямоугольник, то AB = 5x, BC = 8x.

Т.к. MB перпендикулярна плоскости ABC, то треугольники MBC и MBA - прямоугольные.

В прямоугольном треугольнике MBC: $$MB = \sqrt{MC^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - (8x)^2} = \sqrt{144 - 64x^2}$$.

В прямоугольном треугольнике MBA: $$MA = \sqrt{MB^2 + AB^2} = \sqrt{144 - 64x^2 + (5x)^2} = \sqrt{144 - 39x^2}$$.

В прямоугольном треугольнике MCD: $$MD = \sqrt{MC^2 + CD^2} = \sqrt{12^2 + (5x)^2} = \sqrt{144 + 25x^2}$$.

$$MD = 13$$, следовательно, $$\sqrt{144 + 25x^2} = 13$$; $$144 + 25x^2 = 169$$; $$25x^2 = 25$$, $$x^2 = 1$$, $$x = 1$$.

Тогда AD = 8 см, CD = 5 см.

Площадь прямоугольника равна $$AD \cdot CD = 8 \cdot 5 = 40$$ см².

Ответ: 40 см²