№2. Точка М, лежащая вне плоскости квадрата ABCD, равноудалена от каждой его вершины на 8√2см. Площадь квадрата 16 см². Найдите косинус угла между прямой МВ и плоскостью квадрата. На какое расстояние точка М удалена от плоскости квадрата?

Площадь квадрата равна 16 см², следовательно, сторона квадрата равна √16 = 4 см.

Пусть O - центр квадрата ABCD. Тогда AO = BO = CO = DO как половины диагоналей квадрата. Диагональ квадрата равна $$a\sqrt{2}$$, где a - сторона квадрата. В нашем случае диагональ равна $$4\sqrt{2}$$ см, следовательно, AO = BO = CO = DO = $$2\sqrt{2}$$ см.

Т.к. точка M равноудалена от каждой вершины квадрата, то MO - перпендикуляр к плоскости квадрата. Следовательно, MO - расстояние от точки M до плоскости квадрата.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MBO. В нем MB = $$8\sqrt{2}$$ см, BO = $$2\sqrt{2}$$ см. По теореме Пифагора, MO = $$\sqrt{MB^2 - BO^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{128 - 8} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}$$ см.

Косинус угла между прямой MB и плоскостью квадрата - это косинус угла MBO. $$cos(\angle MBO) = \frac{BO}{MB} = \frac{2\sqrt{2}}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{4} = 0.25$$

Ответ: косинус угла равен 0.25, расстояние от точки М до плоскости квадрата равно $$2\sqrt{30}$$ см.