№3. Плоскости равнобедренных треугольников ABD и АВС с общим основанием АВ перпендикулярны. Найдите С D, если AD = 10 см, АВ = 16 см , угол САВ = 45°.

В данной задаче недостаточно данных, чтобы найти CD. Не указано, является ли треугольник ABC прямоугольным или нет. Если бы было указано, что, например, треугольник ABC прямоугольный, то решение было бы следующим:

Т.к. треугольник ABC равнобедренный и угол CAB = 45°, то угол CBA = 45°, следовательно, угол ACB = 90°, т.е. треугольник ABC прямоугольный и AB - гипотенуза.

Т.к. треугольник ABD равнобедренный, то AD = BD = 10 см.

Т.к. плоскости треугольников ABD и ABC перпендикулярны, то можно провести высоту DH в треугольнике ABD к стороне AB, и она будет перпендикулярна плоскости ABC.

Тогда, AH = HB = 8 см. В прямоугольном треугольнике ADH, DH = $$\sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$$ см.

Т.к. треугольник ABC прямоугольный и угол CAB = 45°, то AC = BC. По теореме Пифагора, $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$, т.е. $$2AC^2 = 16^2$$, откуда $$AC^2 = 128$$ и $$AC = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$$ см.

В плоскости ABC проведем перпендикуляр CK к AB. Т.к. DH перпендикулярна плоскости ABC, то DH перпендикулярна CK.

Треугольник CKD прямоугольный, CD = $$\sqrt{CK^2 + DK^2} = \sqrt{CK^2 + (DH + HK)^2}$$.

Т.к. CK перпендикулярна AB, то CK - высота в прямоугольном треугольнике ABC, опущенная на гипотенузу AB. Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то CK = AK = KB = 8 см.

CD = $$\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$ см.