№3. Четыре персонажа — эльф, гном, маг и рыцарь — случайно выстраиваются в очередь к телепорту. Найдите вероятность того, что: а) первым окажется маг; б) рыцарь окажется между эльфом и гномом.

Решение:

Всего есть 4 персонажа: эльф, гном, маг и рыцарь. Они случайно выстраиваются в очередь. Общее число возможных перестановок равно $$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$.

1. а) Вероятность того, что первым окажется маг:

   Если первым стоит маг, то оставшиеся 3 персонажа могут выстроиться $$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$ способами.

   Вероятность того, что первым окажется маг: $$\frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0.25$$.

2. б) Вероятность того, что рыцарь окажется между эльфом и гномом:

   Возможные расположения (Э - эльф, Г - гном, Р - рыцарь):

   • ЭРГ
   • ГРЭ

   Количество способов расставить Э, Р, Г в указанном порядке: 2 способа.

   Для каждого из этих способов есть 2 варианта порядка (ЭРГ или ГРЭ).

   Оставшийся персонаж (маг) может занять любое из 4 мест в очереди. Но между эльфом и гномом может стоять только рыцарь. Значит, возможны следующие варианты:

   • МЭРГ
   • ЭМРГ
   • ЭРМГ
   • ЭРГМ
   • МГРЭ
   • ГМРЭ
   • ГРМЭ
   • ГРЭМ

   Всего 8 вариантов.

   Количество благоприятных исходов: число благоприятных исходов: 4 варианта для каждого из 2 порядков = 2 * 2 = 4 *2 = 8 .

   Количество перестановок эльфа, рыцаря и гнома: 2 варианта (ЭРГ, ГРЭ). Маг может стоять в любом месте (всего 4 места), таким образом, всего: 2 * (4-2)=2*2= 4 варианта.

   Тогда вероятность, что рыцарь окажется между эльфом и гномом: $$\\\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$$.

Ответ: а) 0.25; б) $$\frac{1}{6}$$