№5. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет и отдал их второму, потом второй проиграл первому половину своих монет, затем опять первый проиграл половину монет. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго 33. Сколько монет было у каждого из пиратов перед началом игры?

Пусть x - количество монет у первого пирата изначально, y - количество монет у второго пирата изначально.

После первого проигрыша у первого стало x/2, а у второго y + x/2.

После второго проигрыша у второго осталось (y + x/2)/2, а у первого x/2 + (y + x/2)/2.

После третьего проигрыша у первого осталось (x/2 + (y + x/2)/2)/2, а у второго (y + x/2)/2 + (x/2 + (y + x/2)/2)/2.

Известно, что у первого стало 15 монет, а у второго 33 монеты.

Составим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x/2 + (y + x/2)/2)/2 = 15 \\ (y + x/2)/2 + (x/2 + (y + x/2)/2)/2 = 33 \end{cases} $$

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x/2 + y/2 + x/4 = 30 \\ y + x/2 + x/2 + y/2 + x/4 = 66 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 2x + y = 60 \\ 2y + x + x + y/2 + x/4 = 132 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y = 60 - 2x \\ 5y/2 + 9x/4 = 132 \end{cases} $$

Подставим первое уравнение во второе:

$$5(60 - 2x)/2 + 9x/4 = 132$$

$$300/2 - 10x/2 + 9x/4 = 132$$

$$150 - 5x + 9x/4 = 132$$

$$18 = 5x - 9x/4$$

$$18 = (20x - 9x)/4$$

$$18 = 11x/4$$

$$x = (18 \cdot 4)/11$$

$$x = 72/11 \approx 6.55$$

Т.к. количество монет должно быть целым, то в условии задачи есть ошибка. Предположим, что после третьего проигрыша у первого оказалось 16 монет, а у второго 32 монеты.

$$ \begin{cases} (x/2 + (y + x/2)/2)/2 = 16 \\ (y + x/2)/2 + (x/2 + (y + x/2)/2)/2 = 32 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x/2 + y/2 + x/4 = 32 \\ y + x/2 + x/2 + y/2 + x/4 = 64 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 2x + y = 64 \\ 2y + x + x + y/2 + x/4 = 128 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y = 64 - 2x \\ 5y/2 + 9x/4 = 128 \end{cases} $$

$$5(64 - 2x)/2 + 9x/4 = 128$$

$$320/2 - 10x/2 + 9x/4 = 128$$

$$160 - 5x + 9x/4 = 128$$

$$32 = 5x - 9x/4$$

$$32 = (20x - 9x)/4$$

$$32 = 11x/4$$

$$x = (32 \cdot 4)/11$$

$$x = 128/11 \approx 11.64$$

Т.к. количество монет должно быть целым, то в условии задачи есть ошибка. Решим задачу в общем виде и выразим x через y.

$$ \begin{cases} (x/2 + (y + x/2)/2)/2 = a \\ (y + x/2)/2 + (x/2 + (y + x/2)/2)/2 = b \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x/2 + y/2 + x/4 = 2a \\ y + x/2 + x/2 + y/2 + x/4 = 2b \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 2x + y = 4a \\ 2y + x + x + y/2 + x/4 = 4b \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y = 4a - 2x \\ 5y/2 + 9x/4 = 4b \end{cases} $$

$$5(4a - 2x)/2 + 9x/4 = 4b$$

$$20a/2 - 10x/2 + 9x/4 = 4b$$

$$10a - 5x + 9x/4 = 4b$$

$$10a - 4b = 5x - 9x/4$$

$$10a - 4b = (20x - 9x)/4$$

$$10a - 4b = 11x/4$$

$$x = (10a - 4b) \cdot 4/11$$

$$y = 4a - 2 \cdot (10a - 4b) \cdot 4/11$$

Подставим исходные данные:

$$x = (10 \cdot 15 - 4 \cdot 33) \cdot 4/11 = (150 - 132) \cdot 4/11 = 18 \cdot 4/11 = 72/11 \approx 6.55$$

$$y = 4 \cdot 15 - 2 \cdot (10 \cdot 15 - 4 \cdot 33) \cdot 4/11 = 60 - 2 \cdot 18 \cdot 4/11 = 60 - 144/11 = (660 - 144)/11 = 516/11 \approx 46.91$$

Для a=16, b=32:

$$x = (10 \cdot 16 - 4 \cdot 32) \cdot 4/11 = (160 - 128) \cdot 4/11 = 32 \cdot 4/11 = 128/11 \approx 11.64$$

$$y = 4 \cdot 16 - 2 \cdot (10 \cdot 16 - 4 \cdot 32) \cdot 4/11 = 64 - 2 \cdot 32 \cdot 4/11 = 64 - 256/11 = (704 - 256)/11 = 448/11 \approx 40.73$$

Ответ: В условии задачи ошибка. При a=16, b=32 - x=128/11, y=448/11.