№3 Две стороны изображенного на рисунке прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов $$\vec{AO}$$ и $$\vec{BO}$$.

Пусть стороны прямоугольника $$AB = 6$$ и $$BC = 8$$. Тогда, по теореме Пифагора, диагональ $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то $$|$$\vec{AO}$$| = |$$\vec{BO}$$| = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$$. Векторы $$\vec{AO}$$ и $$\vec{BO}$$ направлены под углом 90° друг к другу, так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. Длина суммы векторов $$\vec{AO}$$ и $$\vec{BO}$$ равна $$\sqrt{|$$\vec{AO}$$|^2 + |$$\vec{BO}$$|^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$.

Ответ: $$5\sqrt{2}$$