№ 4 Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если угол АОВ равен 120□ и МО □4.

Пошаговое решение:

• Пусть OA и OB - радиусы окружности, проведенные в точки касания A и B. Тогда углы OAM и OBM прямые (90°), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Рассмотрим четырехугольник OAMB. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Известно, что угол AOB = 120°. Тогда угол AMB равен: \[ \angle AMB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60° \]
• Треугольник AOB - равнобедренный (OA = OB = радиус окружности). Пусть OA = OB = R. Рассмотрим треугольник AOM. По теореме Пифагора: \[ MO^2 = OA^2 + AM^2 \]
• MO = 4, значит \[ 4^2 = R^2 + AM^2 \]
• Угол AOB = 120°, следовательно, угол AOM = 60° (так как OM - биссектриса угла AOB). В прямоугольном треугольнике AOM: \[ sin(\angle AOM) = \frac{AM}{MO} \] \[ sin(60°) = \frac{AM}{4} \] \[ AM = 4 \cdot sin(60°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \]
• Теперь найдем радиус R: \[ 4^2 = R^2 + (2\sqrt{3})^2 \] \[ 16 = R^2 + 12 \] \[ R^2 = 4 \] \[ R = 2 \]
• В треугольнике AOB известны две стороны (OA = OB = 2) и угол между ними (120°). Применим теорему косинусов для нахождения AB: \[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot cos(\angle AOB) \] \[ AB^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot cos(120°) \] \[ AB^2 = 4 + 4 - 8 \cdot (-\frac{1}{2}) \] \[ AB^2 = 8 + 4 = 12 \] \[ AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

Ответ: 2\sqrt{3}